Analiz, herhangi bir konuyu (maddi veya düşünsel olarak) temel parçalarına ayırarak, daha sonra parçaları ve aralarındaki ilişkileri tanımlayarak sonuca gitme yoludur.
Analiz Edebiyat terimi anlamında, bir edebî eserin analizi, olayların, kişilerin ve üslûbun ayrı ayrı incelenmesi yöntemiyle yapılır. Analizden çıkarılan sonuç bir tartışma konusu olursa bu duruma eleştiri denir.
Matematiksel analiz ise, hesaplamanın esas olduğu matematiğin en önemli koludur. Limit kavramı üzerine kurulmuştur. Eğri, yüzey ve fizik problemlerini bünyesine alarak gelişmiştir. Bu tür konular, özel veya farklı değer kümeleriyle meşgul olan cebir ve aritmetiğin dışındaki problemlerdir. Bununla beraber, sonsuz kümelerin limit değerlerini kural haline getirme işlemlerini ihtiva ederler.
Analizin temel kavramı bir sonsuz dizinin limitidir. Pratikte bir fonksiyonun limiti, özellikle türev, integral ve diferansiyel denklemlerin çözümü şeklindeki problemlerde görülür. Modern matematiğin tesirli bir sahası olan analiz, matematik kuvvetlerin düşüncesi üzerine kurulmuştur.
Matematiksel Analiz Alt Dalları
Matematiksel analizin ana konularından biri, diferansiyel ve integral hesaptır. Gerçel sayı sistemlerinin en iyi kullanıldığı sonsuz dizi ve seriler, analizin tafsilatlı çalışma formüllerini ihtiva eder.
1- Gerçel (Reel) Analiz: Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz, gerçel sayılar kümesi ile uğraşan bir matematiksel analiz dalıdır. Özelde, gerçel sayıların yakınsaklığını ve gerçel sayıların dizilerinin limitlerini, gerçel sayıların hesabını, sürekliliğini, pürüzsüzlüğünü ve gerçel değerli fonksiyonların ilişkin özelliklerini de içerecek şekilde gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle uğraşır.
2- Karmaşık (Komplex) Analiz: Karmaşık analiz, ya da başka bir deyişle komplex analiz, karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Geleneksel olarak karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir. Matematiğin sayılar teorisi, uygulamalı matematik gibi birçok alanında ve fizikte kullanılır. Kullanım alanı sadece bunlarla sınırlı değildir elbette. Karmaşık analiz bilhassa, genel olarak holomorf fonksiyonlar ve meromorf fonksiyonlar diye iki ayrı sınıfa ayrılan karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla ilgilidir. Herhangi bir analitik fonksiyonunun gerçel ve sanal kısmının Laplace denklemini sağlamak zorunda olması sayesinde karmaşık analiz iki-boyutlu fizik problemlerine geniş bir şekilde uygulanabilir.
3- Fonksiyonel Analiz: Matematiğin vektör uzaylarıyla ve bu uzayların üzerinde tanımlı operatörlerle uğraşan bir alt dalıdır. Kökleri fonksiyon uzayları kuramının geliştirilmesine; hatta diferansiyel ve integral denklemlerinin çalışılmasına kadar gitmektedir. Özelde mesela Fourier dönüşümü gibi fonksiyon dönüşümlerinin çalışılmasında da kullanılmıştır. Fonksiyonel kelimesinin ilk kullanımı varyasyonlar hesabına kadar takip edilebilir. Ancak, genel anlamda kullanımı İtalyan matematikçi ve fizikçi Vito Volterra’ya atfedilmektedir. Yine de temeli büyük ölçüde Stefan Banach ve çevresindeki Polonyalı matematikçiler tarafından atılmış ve geliştirilmiştir. Çağdaş anlamda, fonksiyonel analiz bir topolojiye sahip vektör uzaylarının çalışılmasında, özellikle sonsuz boyutlu uzaylarda, gözükmektedir. Tanımdan yola çıkılarak fonksiyon analizinin sonlu boyutlu uzaylar kuramını da içerdiği düşünülebilir; ancak bu uzayları bir topolojisi olmadan inceleyen alan doğrusal cebirdir. Fonksiyonel analizin önemli bir işlevlerinden biri de ölçü, integral ve olasılık kuramı gibi genel kuramları sonsuz boyutlu uzaylara yaymaktır ki bu işlevin özelde adı sonsuz boyutlu analizdir.
4- Diferansiyel Denklemler: Diferansiyel denklemler, Matematikte fonksiyonların bir veya birden çok değişkene göre türevleri ile ilişkili denklemlerdir. Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi alanlarında matematiksel modeller genellikle diferansiyel denklemler kullanılarak ifade edilirler. Diferansiyel denklemler temel olarak iki kola ayrılırlar; normal diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemler.
5- Ölçü Teorisi: Bir set üzerindeki bir ölçü, o setin her bir uygun alt kümesine bir numara atamanın, sezgisel ve boyut olarak yorumlanmasının sistematik bir yoludur. Bu anlamda, bir ölçü uzunluk, alan ve hacim kavramlarının genelleştirilmesidir.
6- Sayısal Analiz: Sayısal analiz istenen matematiksel işlemlerin ayrık olarak nasıl hesaplanabileceğinin incelenmesidir. Sayısal analizde temel amaç, çözümünün elle yapılmasının pratik olmadığı karmaşık problemlerin yaklaşık sayısal çözümlerinin elde edilmesidir ve bu anlamıyla da özelikle mühendislik ve uygulamalı matematikte önemlidir.
